Deret ukur dan sifat-sifatnya

deret ukur penting dalam matematika sebagai ilmu, dan diterapkan signifikansi, karena memiliki ruang lingkup yang sangat luas, bahkan di matematika yang lebih tinggi, misalnya, dalam teori seri. Informasi pertama pada kemajuan datang kepada kami dari Mesir kuno, terutama dalam bentuk masalah terkenal dari Rhind papirus tujuh orang dengan tujuh kucing. Variasi dari tugas ini diulang berkali-kali pada waktu yang berbeda dari negara-negara lain. Bahkan Velikiy Leonardo Pizansky, yang dikenal sebagai Fibonacci (XIII c.), Berbicara dengannya dalam "Kitab Abacus."

Sehingga perkembangan geometris memiliki sejarah kuno. Ini merupakan urutan numerik dengan anggota pertama nol, dan masing-masing berikutnya, dimulai dengan kedua ditentukan dengan mengalikan formula kekambuhan sebelumnya di konstan, jumlah nol yang disebut perkembangan denominator (biasanya ditunjuk menggunakan huruf q).
Jelas, itu dapat ditemukan dengan membagi setiap jangka berikutnya dari urutan ke sebelumnya, yaitu z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Akibatnya, untuk kemajuan pekerjaan yang paling (zn) yang cukup bahwa ia tahu nilai dari istilah pertama penyebut dan y 1 q.

Sebagai contoh, mari z 1 = 7, q = - 4 (q <0), maka deret ukur berikut ini didapat 7 - 28 112-448, .... Seperti yang Anda lihat, urutan yang dihasilkan tidak monoton.

Ingat bahwa urutan sewenang-wenang monoton (peningkatan / penurunan) ketika salah satu anggotanya mengikuti lebih / kurang dari yang sebelumnya. Sebagai contoh, urutan 2, 5, 9, ..., dan -10, -100, -1000, ... - monoton, yang kedua - sebuah deret ukur menurun.

Dalam kasus di mana q = 1, semua anggota yang ditemukan, dan hal itu disebut perkembangan konstan.

Urutan itu perkembangan jenis ini, harus memenuhi syarat perlu dan cukup berikut, yaitu: mulai dari kedua, masing-masing anggotanya harus rata-rata geometris dari anggota tetangga.

Properti ini mengizinkan bawah dua berdekatan Temuan perkembangan jangka sewenang-wenang tertentu.

n-th jangka eksponensial dengan mudah ditemukan dengan rumus: zn = z 1 * q ^ (n-1), z mengetahui pertama anggota 1 dan penyebut q.

Karena nomor urut memiliki penjumlahan, maka beberapa perhitungan sederhana memberi kita rumus untuk menghitung jumlah dari perkembangan pertama anggota, yaitu:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Mengganti, dalam rumus yang nilai ekspresi zn z 1 * q ^ (n-1) untuk mendapatkan rumus jumlah kedua dari perkembangan: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Apakah layak perhatian berikut fakta menarik: tablet tanah liat yang ditemukan dalam penggalian Babel kuno, yang mengacu pada VI. SM, berisi cara yang luar biasa jumlah dari 1 + 2 + ... + 22 + 29 sama dengan 2 sampai minus kekuatan kesepuluh 1. Penjelasan dari fenomena ini belum ditemukan.

Kami mencatat salah satu sifat dari deret ukur - sebuah karya konstan anggotanya, spasi pada jarak yang sama dari ujung urutan.

Yang paling penting dari sudut pandang ilmiah, hal seperti deret ukur yang tak terbatas dan menghitung jumlahnya. Dengan asumsi bahwa (yn) - sebuah deret ukur memiliki denominator q, memuaskan kondisi | q | <1, jumlahnya akan dirujuk ke batas ke arah yang kita sudah tahu jumlah anggota pertama, dengan peningkatan tak terbatas dari n, maka memiliki itu mendekati tak terhingga.

Cari jumlah ini sebagai hasil dari menggunakan rumus:

S n = y 1 / (1- q).

Dan, seperti pengalaman menunjukkan, untuk kesederhanaan jelas dari perkembangan ini tersembunyi potensi aplikasi yang besar. Sebagai contoh, jika kita membangun urutan kotak sesuai dengan algoritma berikut, yang menghubungkan titik-titik tengah dari yang sebelumnya, maka mereka membentuk deret ukur yang tak terbatas persegi memiliki denominator 1/2. bentuk perkembangan yang sama dan daerah segitiga, diperoleh pada setiap tahap konstruksi, dan jumlah yang sama dengan luas persegi asli.