Fungsi kontinu

Sebuah fungsi kontinu adalah fungsi tanpa "melompat", yaitu satu untuk yang kondisi berikut puas: argumen perubahan kecil diikuti dengan perubahan kecil dalam nilai-nilai masing-masing fungsi. Grafik fungsi tersebut adalah kurva kontinu atau halus.

Kontinuitas pada batas titik untuk satu set, dapat ditentukan oleh konsep limit, yaitu, fungsi harus memiliki batas pada titik ini, yang sama dengan nilai pada titik batas.

Ketika kondisi ini di beberapa titik, mengatakan fungsi pada titik diskontinuitas, yaitu kontinuitas rusak. Dalam bahasa batas titik air mata dapat digambarkan sebagai ketidakcocokan dalam nilai-nilai dari titik puncaknya dengan limit fungsi (jika ada).

titik diskontinuitas mungkin dilepas, perlu untuk membatasi keberadaan fungsi, tetapi tidak cocok dengan nilai pada suatu titik tertentu. Dalam hal ini, pada titik ini adalah mungkin untuk "memperbaiki", yaitu untuk memperluas definisi kontinuitas.
Sebuah gambar yang sama sekali berbeda muncul jika limit fungsi di diberikan titik tidak ada. Ada dua kemungkinan titik-titik diskontinuitas:

• jenis pertama - dan ada batas terbatas baik dari satu sisi, dan nilai satu atau keduanya tidak bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu;
• jenis kedua, ketika tidak ada satu sisi atau kedua batas atau nilai-nilai yang tak ada habisnya.

Sifat fungsi kontinu

• Fungsi diperoleh sebagai hasil dari operasi aritmatika, dan juga superposisi dari fungsi kontinu dari domain mereka juga terus menerus.
• Mengingat fungsi kontinu yang positif di beberapa titik, Anda selalu dapat menemukan lingkungan yang cukup kecil di mana ia akan mempertahankan tandanya.
• Demikian pula, jika nilainya di dua titik A dan B masing-masing adalah, a dan b, dimana berbeda dari b, maka untuk poin menengah itu akan mengambil semua nilai dari interval (a, b). Dari sini Anda dapat membuat suatu kesimpulan menarik: jika Anda memberikan karet gelang untuk mengecilkan sehingga tidak mengendur (tetap lurus), salah satu poin yang tetap diam. Sebuah geometris itu berarti bahwa ada garis lurus melewati titik tengah antara A dan B, yang memotong grafik fungsi.

Catatan beberapa kontinyu (di wilayah definisi mereka) fungsi dasar:

• konstan;
• rasional;
• trigonometri.

Antara dua konsep dasar dalam matematika - kontinu dan terdiferensialkan - yang terkait erat. Cukuplah untuk mengingat bahwa untuk fungsi yang terdiferensiasi Anda butuhkan untuk menjadi fungsi kontinu.

Jika fungsi terdiferensialkan di beberapa titik, ada terus menerus. Namun, hal itu tidak perlu, sehingga turunannya terus-menerus.

Sebuah fungsi yang memiliki satu set turunan kontinu, milik kelas terpisah dari fungsi halus. Dengan kata lain, itu adalah - fungsi terus terdiferensiasi. Jika derivatif memiliki sejumlah titik-titik diskontinuitas (hanya jenis pertama), fungsi yang sama disebut piecewise halus.

Konsep lain yang penting dari analisis matematika adalah seragam fungsi kontinu, yaitu, kemampuannya untuk berada di setiap titik domainnya sama terus menerus. Dengan demikian, sebuah properti yang terlihat pada set poin, daripada setiap individu.

Jika kita memperbaiki titik, Anda mendapatkan apa-apa lagi, sebagai definisi kontinuitas, yaitu, dari adanya kontinuitas seragam menyiratkan bahwa ini adalah fungsi kontinu. Secara umum, sebaliknya tidak benar. Namun, menurut teorema Cantor, jika fungsi kontinu pada kompak, yang, pada interval tertutup, maka itu adalah kontinu seragam di atasnya.