Teori probabilitas. Probabilitas dari suatu peristiwa, acara sesekali (teori probabilitas). Perkembangan independen dan tidak kompatibel dalam teori probabilitas

Hal ini tidak mungkin bahwa banyak orang berpikir itu adalah mungkin untuk menghitung peristiwa, yang sampai batas tertentu disengaja. Untuk memasukkannya ke dalam kata-kata sederhana, adalah realistis untuk mengetahui sisi kubus di dadu akan jatuh waktu berikutnya. Itu pertanyaan ini untuk meminta dua ilmuwan besar, meletakkan dasar untuk ilmu ini, teori probabilitas, probabilitas peristiwa di mana dipelajari cukup luas.

generasi

Jika Anda mencoba untuk mendefinisikan konsep seperti itu sebagai teori probabilitas, kita mendapatkan berikut: ini adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari keteguhan dari peristiwa acak. Jelas, konsep ini benar-benar tidak mengungkapkan esensi, sehingga Anda perlu mempertimbangkan hal itu secara lebih rinci.

Saya ingin memulai dengan pendiri teori. Seperti yang telah disebutkan di atas, ada dua, yang Per Ferma dan Blez Paskal. Mereka adalah yang pertama berusaha menggunakan rumus dan perhitungan matematis untuk menghitung hasil dari suatu peristiwa. Secara umum, dasar-dasar ilmu ini bahkan pada Abad Pertengahan. Sementara berbagai pemikir dan ilmuwan telah mencoba untuk menganalisis permainan kasino seperti rolet, dadu, dan sebagainya, sehingga untuk membangun pola, dan persentase kehilangan angka. Yayasan ini juga diletakkan pada abad ketujuh belas itu para ulama tersebut.

Awalnya, pekerjaan mereka tidak dapat dikaitkan dengan prestasi besar di bidang ini, setelah semua, apa yang mereka lakukan, mereka hanya fakta-fakta empiris dan eksperimen yang jelas tanpa menggunakan rumus. Seiring waktu, ternyata untuk mencapai hasil yang bagus, yang muncul sebagai akibat dari pengamatan para pemeran tulang. Hal ini instrumen ini telah membantu untuk membawa formula yang berbeda pertama.

pendukung

Belum lagi pria seperti Christiaan Huygens, dalam proses mempelajari subjek yang menyandang nama "teori probabilitas" (probabilitas acara menyoroti dalam ilmu ini). Orang ini sangat menarik. Dia, serta ilmuwan yang disajikan di atas dicoba dalam bentuk rumus matematika untuk menyimpulkan pola kejadian acak. Perlu dicatat bahwa ia tidak berbagi dengan Pascal dan Fermat, itu semua karyanya tidak tumpang tindih dengan orang-orang pikiran. Huygens berasal konsep dasar teori probabilitas.

Fakta yang menarik adalah bahwa karyanya datang jauh sebelum hasil karya pelopor, tepatnya, dua puluh tahun sebelumnya. Hanya ada di antara konsep-konsep yang diidentifikasi adalah:

• sebagai konsep peluang nilai probabilitas;
• harapan untuk kasus diskrit;
• teorema penjumlahan dan perkalian probabilitas.

Juga, salah satu tidak bisa melupakan Yakoba Bernulli, yang juga memberikan kontribusi untuk mempelajari masalah. Melalui mereka sendiri, tak satu pun yang tes independen, ia mampu memberikan bukti hukum bilangan besar. Pada gilirannya, para ilmuwan Poisson dan Laplace, yang bekerja di awal abad kesembilan belas, mampu membuktikan teorema asli. Sejak saat itu untuk menganalisis kesalahan dalam pengamatan kami mulai menggunakan teori probabilitas. Partai sekitar ilmu ini tidak bisa dan Rusia ilmuwan, bukan Markov, Chebyshev dan Dyapunov. Mereka didasarkan pada pekerjaan yang dilakukan jenius besar, dijamin subjek sebagai cabang matematika. Kami bekerja angka-angka ini pada akhir abad kesembilan belas, dan berkat kontribusi mereka, telah terbukti fenomena seperti:

• hukum bilangan besar;
• Teori rantai Markov;
• Pusat teorema limit.

Jadi, sejarah lahirnya ilmu pengetahuan dan dengan kepribadian utama yang memberikan kontribusi untuk itu, semuanya lebih atau kurang jelas. Sekarang saatnya untuk menyempurnakan semua fakta.

konsep dasar

Sebelum Anda menyentuh hukum dan teorema harus belajar konsep dasar teori probabilitas. Acara itu menempati peran yang dominan. Topik ini agak luas, tetapi tidak akan dapat memahami semua sisanya tanpa itu.

Acara dalam teori probabilitas - itu Setiap set hasil percobaan. Konsep dari fenomena ini tidak cukup. Dengan demikian, ilmuwan Lotman bekerja di daerah ini, telah menyatakan bahwa dalam hal ini kita berbicara tentang apa yang "terjadi, meskipun itu tidak bisa terjadi."

peristiwa acak (teori probabilitas memberikan perhatian khusus kepada mereka) - adalah sebuah konsep yang melibatkan benar-benar fenomena memiliki kemungkinan untuk terjadi. Atau, sebaliknya, skenario ini bisa tidak terjadi dalam kinerja berbagai kondisi. Hal ini juga mengetahui bahwa menempati seluruh volume fenomena yang terjadi kejadian hanya acak. teori probabilitas menunjukkan bahwa semua kondisi dapat diulang terus-menerus. Ini adalah perilaku mereka telah disebut "pengalaman" atau "test."

peristiwa penting - ini adalah fenomena yang seratus persen dalam tes ini terjadi. Dengan demikian, acara mungkin - ini adalah sesuatu yang tidak terjadi.

Menggabungkan pasang Aksi (konvensional kasus A dan kasus B) adalah fenomena yang terjadi secara bersamaan. Mereka disebut sebagai AB.

Jumlah pasang peristiwa A dan B - C adalah, dalam kata lain, jika setidaknya salah satu dari mereka akan (A atau B), Anda mendapatkan C. Rumus fenomena dijelaskan ditulis sebagai C = A + B.

perkembangan tidak kompatibel dalam teori probabilitas menyiratkan bahwa dua kasus saling eksklusif. Pada saat yang sama mereka dalam hal apapun tidak dapat terjadi. acara bersama dalam teori probabilitas - itu adalah antipoda mereka. Implikasinya adalah bahwa jika A terjadi, itu tidak menghalangi C.

Menentang acara (teori probabilitas menganggap mereka dengan sangat rinci), mudah dipahami. Hal terbaik untuk berurusan dengan mereka dibandingkan adalah. Mereka hampir perkembangan yang tidak sesuai sama dalam teori probabilitas. Namun, perbedaan mereka adalah bahwa salah satu dari sejumlah fenomena dalam hal apapun harus terjadi.

peristiwa kemungkinan sama - tindakan-tindakan, kemungkinan pengulangan sama. Untuk membuat jelas, Anda bisa membayangkan melempar koin: hilangnya salah satu sisinya adalah sama kemungkinan kerugian lainnya.

lebih mudah untuk mempertimbangkan contoh mendukung acara tersebut. Misalkan ada sebuah episode di episode A. Yang pertama - gulungan mati dengan munculnya angka ganjil, dan yang kedua - penampilan nomor lima pada dadu. Kemudian ternyata bahwa A adalah V. disukai

Peristiwa independen dalam teori probabilitas diproyeksikan hanya pada dua atau lebih kesempatan dan melibatkan independen dari setiap tindakan dari yang lain. Misalnya, A - bingung ekor koin melempar, dan B - dostavanie jack dari dek. Mereka memiliki acara independen dalam teori probabilitas. Dari saat ini menjadi jelas.

Peristiwa tergantung dalam teori probabilitas juga diperbolehkan hanya untuk set mereka. Mereka menyiratkan ketergantungan satu di sisi lain, yaitu, fenomena tersebut dapat terjadi hanya dalam kasus ketika A telah terjadi atau, sebaliknya, tidak terjadi ketika - syarat utama untuk B.

Hasil dari percobaan acak yang terdiri dari komponen tunggal - itu peristiwa SD. teori probabilitas mengatakan bahwa itu adalah sebuah fenomena yang dilakukan hanya sekali.

rumus dasar

Dengan demikian, di atas dianggap konsep "acara", "probabilitas teori", definisi dari istilah-istilah kunci ilmu ini juga diberikan. Sekarang saatnya untuk membiasakan diri dengan rumus penting. ekspresi ini secara matematis dikonfirmasi semua konsep utama dalam suatu subjek sulit karena teori probabilitas. Probabilitas dari suatu peristiwa dan memainkan peran besar.

Lebih baik untuk memulai dengan formula dasar kombinatorik. Dan sebelum Anda mulai mereka, perlu mempertimbangkan apa itu.

Kombinasi - terutama cabang matematika, ia telah mempelajari sejumlah besar bilangan bulat, dan berbagai permutasi dari kedua angka dan unsur-unsur mereka, berbagai data, dll, yang mengarah ke sejumlah kombinasi ... Selain teori probabilitas, industri ini penting untuk statistik, ilmu komputer dan kriptografi.

Jadi sekarang Anda dapat melanjutkan dengan penyajian diri mereka sendiri dan formula definisi mereka.

Yang pertama adalah ekspresi untuk jumlah permutasi, itu adalah sebagai berikut:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Persamaan hanya berlaku dalam kasus jika unsur-unsur berbeda hanya dalam urutan pengaturan.

Sekarang rumus penempatan, sepertinya ini akan dipertimbangkan:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Ungkapan ini berlaku tidak hanya untuk satu-satunya unsur penempatan pesanan, tetapi juga untuk komposisinya.

Persamaan ketiga kombinatorika, dan itu yang terakhir, disebut rumus untuk jumlah kombinasi:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinasi disebut sampling, yang tidak diperintahkan, masing-masing, untuk dan diterapkan aturan ini.

Dengan rumus kombinatorik datang untuk memahami dengan mudah, kini Anda dapat pergi ke definisi klasik probabilitas. Sepertinya ungkapan ini sebagai berikut:

P (A) = m: n.

Dalam rumus ini, m - adalah jumlah kondisi yang kondusif untuk acara A, dan n - jumlah yang sama dan benar-benar semua peristiwa SD.

Ada banyak ungkapan dalam artikel tidak akan dianggap apa-apa tapi yang terkena akan menjadi yang paling penting seperti, misalnya, kemungkinan peristiwa berjumlah:

P (A + B) = P (A) + P (B) - teorema ini untuk menambahkan hanya peristiwa saling eksklusif;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - tapi ini hanya untuk menambahkan kompatibel.

Probabilitas karya acara:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - teorema ini untuk acara independen;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - dan ini untuk bergantung.

Berakhir daftar susu formula peristiwa. Teori probabilitas memberitahu kita teorema Bayes, yang terlihat seperti ini:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Dalam rumus ini, H _1, H _2, ..., H _n - adalah satu set lengkap hipotesis.

Di halte ini, aplikasi sampel formula sekarang akan dipertimbangkan untuk tugas-tugas khusus dari praktek.

contoh

Jika Anda hati-hati mempelajari setiap cabang matematika, itu bukan tanpa latihan dan solusi sampel. Dan teori probabilitas: acara, contoh di sini adalah komponen integral dari mengkonfirmasikan perhitungan ilmiah.

Rumus untuk jumlah permutasi

Sebagai contoh, di dek kartu memiliki tiga puluh kartu, dimulai dengan satu nominal. Pertanyaan berikutnya. Berapa banyak cara untuk melipat dek sehingga kartu dengan nilai nominal satu dan dua tidak terletak di sebelah?

Tugas diatur, sekarang mari kita beralih untuk menghadapinya. Pertama, Anda perlu menentukan jumlah permutasi dari tiga puluh elemen, untuk tujuan ini kita mengambil rumus di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan aturan ini, kita tahu berapa banyak pilihan ada untuk meletakkan dek dalam banyak hal, tapi kami harus dipotong dari mereka adalah mereka yang pertama dan kedua kartu akan berikutnya. Untuk melakukan hal ini, mulai dengan varian, ketika pertama terletak pada kedua. Ternyata bahwa peta pertama dapat mengambil dua puluh sembilan tempat - dari pertama ke dua puluh sembilan, dan kartu kedua dari kedua puluh satu, ternyata dua puluh sembilan kursi untuk pasangan kartu. Pada gilirannya, orang lain dapat mengambil dua puluh delapan kursi, dan dalam urutan apapun. Artinya, untuk penataan ulang dari dua puluh delapan kartu telah Dua Puluh Delapan pilihan P_28 = 28!

Hasilnya adalah bahwa jika kita mempertimbangkan keputusan, ketika kartu pertama adalah pada kesempatan kedua ekstra untuk mendapatkan 29 ⋅ 28! = 29!

Menggunakan metode yang sama, Anda perlu menghitung jumlah pilihan berlebihan untuk kasus ketika kartu pertama terletak di bawah kedua. Juga memperoleh 29 ⋅ 28! = 29!

Dari sini dapat disimpulkan bahwa opsi tambahan 2 ⋅ 29!, Sedangkan sarana yang diperlukan pengumpulan dek 30! - 2 ⋅ 29!. Tetap hanya untuk menghitung.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Sekarang kita perlu kalikan bersama-sama semua nomor 1-29, dan kemudian pada akhir semua dikalikan dengan 28. Jawabannya diperoleh 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Contoh solusi. Rumus untuk jumlah akomodasi

Dalam masalah ini, Anda perlu mencari tahu berapa banyak ada cara untuk menempatkan lima belas volume di rak, tetapi di bawah kondisi yang hanya tiga puluh volume.

Dalam tugas ini, keputusan sedikit lebih mudah dari sebelumnya. Menggunakan rumus yang sudah diketahui, maka perlu untuk menghitung jumlah total tiga puluh lokasi lima belas volume.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Response, masing-masing, akan sama dengan 843 204 931 202 727 360 000.

Sekarang mengambil tugas sedikit lebih sulit. Anda perlu tahu berapa banyak ada cara untuk mengatur tiga puluh dua buku di rak, dengan ketentuan bahwa hanya lima belas volume dapat berada di rak yang sama.

Sebelum awal keputusan ingin mengklarifikasi bahwa beberapa masalah dapat diselesaikan dalam beberapa cara, dan dalam hal ini ada dua cara, tetapi dalam satu dan rumus yang sama diterapkan.

Dalam tugas ini, Anda dapat mengambil jawaban dari yang sebelumnya, karena di sana kita telah menghitung berapa kali Anda dapat mengisi rak selama lima belas buku dengan cara yang berbeda. Ternyata A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Resimen kedua dihitung dengan rumus reshuffle, karena ia ditempatkan lima belas buku, sementara sisa lima belas. Kami menggunakan rumus P_15 = 15!.

Ternyata bahwa jumlah akan A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cara, namun, di samping itu, produk dari semua angka 30-16 akan dikalikan dengan produk dari angka 1-15, pada akhirnya ternyata produk dari semua angka 1-30, itulah jawabannya adalah 30!

Tapi masalah ini dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda - lebih mudah. Untuk melakukan ini, Anda dapat membayangkan bahwa ada satu rak selama tiga puluh buku. Semua dari mereka ditempatkan di pesawat ini, tetapi karena kondisi mengharuskan ada dua rak, salah satu lama kita menggergaji di setengah, dua putaran lima belas. Dari ini ternyata untuk pengaturan ini dapat P_30 = 30!.

Contoh solusi. Rumus untuk jumlah kombinasi

Yang dianggap sebagai varian dari masalah ketiga kombinatorika. Anda perlu tahu berapa banyak cara yang ada untuk mengatur lima belas buku tentang kondisi yang Anda harus memilih dari tiga puluh persis sama.

Untuk keputusan akan, tentu saja, menerapkan rumus untuk jumlah kombinasi. Dari kondisi itu menjadi jelas bahwa urutan lima belas buku yang sama tidak penting. Jadi awalnya Anda perlu mengetahui jumlah total kombinasi dari tiga puluh lima belas buku.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Itu saja. Menggunakan rumus ini, dalam waktu sesingkat mungkin untuk memecahkan masalah tersebut, jawaban, masing-masing, sama dengan 155.117.520.

Contoh solusi. Definisi klasik probabilitas

Menggunakan rumus yang diberikan di atas, satu dapat menemukan jawaban dalam tugas sederhana. Tapi itu jelas akan melihat dan mengikuti tindakan.

Tugas yang diberikan bahwa dalam sebuah guci ada sepuluh bola benar-benar identik. Dari jumlah tersebut, empat kuning dan enam biru. Diambil dari guci satu bola. Hal ini diperlukan untuk mengetahui probabilitas dostavaniya biru.

Untuk mengatasi masalah tersebut perlu untuk menunjuk dostavanie biru acara bola A. Pengalaman ini mungkin memiliki sepuluh hasil, yang, pada gilirannya, SD dan kemungkinan yang sama. Pada saat yang sama, enam dari sepuluh yang menguntungkan ke acara A. Memecahkan rumus berikut:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Menerapkan rumus ini, kita telah belajar bahwa kemungkinan dostavaniya bola biru adalah 0,6.

Contoh solusi. Probabilitas jumlah kejadian

Siapa yang akan menjadi varian yang diselesaikan dengan menggunakan rumus probabilitas dari jumlah kejadian. Jadi, mengingat kondisi bahwa ada dua kasus, yang pertama adalah abu-abu dan lima bola putih, sedangkan yang kedua - bola putih delapan abu-abu dan empat. Akibatnya, kotak pertama dan kedua telah diambil pada salah satu dari mereka. Hal ini diperlukan untuk mengetahui apa yang kemungkinan yang tidak memiliki bola berwarna abu-abu dan putih.

Untuk mengatasi masalah ini, perlu untuk mengidentifikasi acara tersebut.

• Dengan demikian, A - kami memiliki gray ball dari kotak pertama: P (A) = 1/6.
• A '- bola putih juga diambil dari kotak pertama: P (A') = 5/6.
• The - gray ball sudah diekstraksi dari saluran kedua: P (B) = 2/3.
• B '- mengambil bola abu-abu dari laci kedua: P (B') = 1/3.

Menurut masalahnya adalah perlu bahwa salah satu fenomena yang terjadi: AB 'atau' B. Menggunakan rumus, kita memperoleh: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Sekarang formula mengalikan probabilitas digunakan. Berikutnya, untuk mengetahui jawabannya, Anda perlu menerapkan persamaan mereka menambahkan:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Begitulah cara, menggunakan rumus, Anda dapat memecahkan masalah tersebut.

hasil

Makalah ini telah disampaikan kepada informasi tentang "teori probabilitas", kemungkinan peristiwa yang memainkan peran penting. Tentu saja, tidak semuanya telah dipertimbangkan, tetapi atas dasar teks yang disajikan, Anda secara teoritis bisa berkenalan dengan cabang matematika. sains dianggap dapat berguna tidak hanya dalam bisnis profesional, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari. Anda dapat menggunakannya untuk menghitung kemungkinan suatu peristiwa.

Teks ini juga dipengaruhi oleh tanggal penting dalam sejarah perkembangan teori probabilitas sebagai ilmu, dan nama-nama orang yang karya-karyanya telah dimasukkan ke dalamnya. Itulah cara keingintahuan manusia telah menyebabkan fakta bahwa orang-orang telah belajar untuk menghitung, bahkan peristiwa acak. Setelah mereka hanya tertarik dalam hal ini, tapi hari ini sudah diketahui semua. Dan tidak ada yang bisa mengatakan apa yang akan terjadi pada kita di masa depan, apa penemuan brilian lain yang berkaitan dengan teori di bawah pertimbangan, akan berkomitmen. Tapi satu hal yang pasti - penelitian masih tidak layak!