Poligon cembung. Definisi poligon cembung. Diagonal poligon cembung

Bentuk-bentuk geometris ada di sekitar kita. Cembung poligon yang alami, seperti sarang lebah atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam memproduksi berbagai jenis pelapis dalam seni, arsitektur, ornamen, dll poligon cembung memiliki properti yang poin mereka berbaring di salah satu sisi garis lurus yang melewati pasangan simpul yang berdekatan dari sosok geometris. Ada definisi lain. Ini disebut poligon cembung, yang diatur dalam setengah-pesawat tunggal sehubungan dengan garis lurus yang mengandung salah satu sisinya.

poligon cembung

Dalam perjalanan geometri SD selalu diperlakukan poligon sangat sederhana. Untuk memahami sifat-sifat bentuk geometris Anda perlu memahami sifat mereka. Untuk mulai memahami bahwa tertutup adalah setiap garis yang ujung-ujungnya sama. Dan sosok yang dibentuk oleh itu, dapat memiliki berbagai konfigurasi. Polygon disebut polyline tertutup sederhana yang unit yang berdekatan tidak terletak pada satu garis lurus. Its link dan node, masing-masing, sisi dan puncak dari sosok geometris. Sebuah polyline sederhana tidak harus berpotongan itu sendiri.

simpul dari poligon disebut tetangga, dalam kasus mereka adalah ujung salah satu sisinya. Seorang tokoh geometris, yang memiliki sejumlah n-th simpul, dan karenanya jumlah n-th partai yang disebut n-gon itu. Itu sendiri rusak garis batas atau kontur sosok geometris. Pesawat poligonal atau poligon datar disebut bagian akhir dari pesawat apapun, mereka yang terbatas. sisi yang berdekatan dari sosok geometris disebut segmen polyline yang berasal dari simpul yang sama. Mereka tidak akan tetangga jika mereka didasarkan pada simpul yang berbeda dari poligon.

definisi lain dari poligon cembung

Dalam geometri dasar, ada beberapa setara dalam definisi makna, menunjukkan apa yang disebut poligon cembung. Selain itu, semua pernyataan ini sama-sama benar. Sebuah poligon cembung adalah salah satu yang memiliki:

• setiap segmen yang menghubungkan dua titik di dalamnya, terletak sepenuhnya di dalamnya;

• dalamnya berbohong semua diagonalnya;

• setiap sudut interior tidak lebih besar dari 180 °.

Polygon selalu membagi pesawat menjadi dua bagian. Salah satu dari mereka - terbatas (dapat tertutup dalam lingkaran), dan lainnya - terbatas. Yang pertama disebut wilayah batin, dan yang kedua - daerah luar sosok geometris. Ini adalah persimpangan poligon (dengan kata lain - total komponen) beberapa setengah-pesawat. Dengan demikian, setiap segmen memiliki ujung pada titik-titik yang termasuk ke poligon benar-benar miliknya.

Varietas poligon cembung

Definisi poligon cembung tidak menunjukkan bahwa ada banyak jenis dari mereka. Dan masing-masing memiliki kriteria tertentu. Dengan demikian, poligon cembung, yang memiliki sudut internal 180 °, disebut sedikit cembung. Geometris angka cembung yang memiliki tiga puncak, disebut segitiga, empat - segiempat, lima - pentagon, dll Setiap cembung n-gons memenuhi persyaratan penting berikut: .. N harus sama atau lebih besar dari 3. Masing-masing dari segitiga cembung. Sosok geometris jenis ini di mana semua simpul yang terletak di lingkaran, yang disebut lingkaran tertulis. Dijelaskan poligon cembung disebut jika semua sisi-sisinya sekitar lingkaran untuk menyentuhnya. Dua poligon disebut sama hanya dalam kasus ketika menggunakan overlay dapat dikombinasikan. poligon datar disebut pesawat poligonal (sebagian pesawat) bahwa angka geometris yang terbatas ini.

poligon cembung beraturan

poligon reguler disebut bentuk-bentuk geometris dengan sudut yang sama dan sisi. Di dalamnya ada titik 0, yang merupakan jarak yang sama dari masing-masing simpul. Hal ini disebut pusat sosok geometris. Garis yang menghubungkan pusat dengan simpul dari sosok geometris disebut apotema, dan orang-orang yang menghubungkan titik 0 dengan pihak - jari-jari.

Benar persegi panjang - persegi. segitiga sama sisi disebut sama sisi. Untuk bentuk seperti ada aturan berikut: setiap sudut poligon cembung adalah 180 ° * (n-2) / n,

di mana n - jumlah simpul dari sosok geometris cembung.

Luas setiap poligon reguler ditentukan dengan rumus:

S = p * h,

dimana p adalah sama dengan setengah jumlah dari semua sisi poligon, dan h adalah panjang apotema.

Properti poligon cembung

Cembung poligon memiliki sifat tertentu. Dengan demikian, segmen yang menghubungkan dua titik dari sosok geometris, tentu terletak di dalamnya. bukti:

Misalkan P - poligon cembung. Ambil dua poin sewenang-wenang, misalnya, A dan B, yang termasuk ke P. Dengan definisi saat poligon cembung, titik-titik ini terletak di salah satu sisi garis lurus yang berisi segala arah R. Akibatnya, AB juga memiliki properti ini dan terkandung dalam R. A poligon cembung selalu dapat dibagi menjadi beberapa segitiga benar-benar semua diagonal, yang diadakan salah satu simpul.

Sudut bentuk geometris cembung

Sudut dari poligon cembung - adalah sudut yang dibentuk oleh para pihak. sudut dalam berada di area dalam sosok geometris. Sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang berkumpul di sebuah sudut, disebut sudut poligon cembung. Sudut yang berdekatan dengan sudut internal sosok geometris, disebut eksternal. Setiap sudut poligon cembung, diatur di dalamnya, adalah:

180 ° - x

di mana x - nilai luar sudut. rumus sederhana ini berlaku untuk semua jenis bentuk geometris tersebut.

Secara umum, untuk sudut luar eksis mengikuti aturan: setiap sudut poligon cembung sama dengan perbedaan antara 180 ° dan nilai sudut interior. Hal ini dapat memiliki nilai mulai dari -180 ° sampai 180 °. Akibatnya, ketika sudut batin adalah 120 °, penampilan akan memiliki nilai 60 °.

Jumlah dari sudut poligon cembung

Jumlah dari sudut interior poligon cembung didirikan dengan rumus:

180 ° * (n-2),

di mana n - jumlah simpul dari n-gon itu.

Jumlah sudut poligon cembung dihitung cukup sederhana. Mempertimbangkan bentuk geometris tersebut. Untuk menentukan jumlah sudut dalam poligon cembung perlu menghubungkan salah satu simpul ke simpul lainnya. Sebagai hasil dari tindakan ini ternyata (n-2) segitiga. Hal ini diketahui bahwa jumlah sudut segitiga setiap selalu 180 °. Karena jumlah mereka dalam poligon setiap sama (n-2), jumlah dari sudut interior angka sama dengan 180 ° x (n-2).

Berjumlah sudut poligon cembung, yaitu, setiap dua sudut internal dan eksternal berdekatan dengan mereka, dalam gambar geometris cembung ini akan selalu sama dengan 180 °. Atas dasar ini, kita dapat menentukan jumlah dari semua sudutnya:

180 x n.

Jumlah dari sudut interior adalah 180 ° * (n-2). Dengan demikian, jumlah semua sudut luar angka ditetapkan dengan rumus:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Jumlah dari sudut eksternal dari setiap poligon cembung akan selalu sama dengan 360 ° (terlepas dari jumlah sisi-sisinya).

sudut luar poligon cembung umumnya diwakili oleh perbedaan antara 180 ° dan nilai sudut interior.

Sifat-sifat lain dari poligon cembung

Selain sifat dasar data geometris angka, mereka juga memiliki lain, yang terjadi ketika menangani mereka. Dengan demikian, setiap poligon dapat dibagi menjadi beberapa cembung n-gons. Untuk melakukan hal ini, terus masing-masing sisi-sisinya dan memotong bentuk geometris sepanjang garis-garis lurus. Membagi poligon setiap menjadi beberapa bagian cembung adalah mungkin dan sehingga bagian atas dari masing-masing potongan bertepatan dengan semua simpul. Dari sosok geometris bisa sangat sederhana untuk membuat segitiga melalui semua diagonal dari satu titik. Dengan demikian, setiap poligon, akhirnya, dapat dibagi menjadi sejumlah segitiga, yang sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai tugas yang berhubungan dengan bentuk geometris tersebut.

Perimeter poligon cembung

Segmen polyline, pihak poligon-disebut, sering ditunjukkan dengan surat-surat berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini sisi sosok geometris dengan simpul a, b, c, d, e. Jumlah panjang dari sisi poligon cembung disebut perimeter.

Keliling poligon

Cembung poligon dapat dimasukkan dan dijelaskan. Lingkaran bersinggungan dengan semua sisi sosok geometris, disebut tertulis ke dalamnya. poligon ini disebut dijelaskan. Pusat lingkaran yang tertulis dalam poligon adalah titik persimpangan garis bagi sudut dalam bentuk geometris yang diberikan. Luas poligon adalah sama dengan:

S = p * r,

di mana r - jari-jari lingkaran tertulis, dan p - semiperimeter polygon ini.

Sebuah lingkaran yang berisi simpul poligon, disebut dijelaskan dekat itu. Selanjutnya, angka geometris cembung ini disebut tertulis. Pusat lingkaran, yang digambarkan tentang poligon tersebut adalah titik persimpangan yang disebut midperpendiculars semua sisi.

Diagonal bentuk geometris cembung

Diagonal poligon cembung - segmen yang menghubungkan tidak tetangga simpul. Masing-masing adalah dalam bentuk geometrik ini. Jumlah diagonal dari n-gon diatur dengan rumus:

N = n (n - 3) / 2.

Jumlah Diagonal poligon cembung memainkan peran penting dalam geometri dasar. Jumlah segitiga (K), yang dapat mematahkan setiap poligon cembung, dihitung dengan rumus berikut:

K = n - 2.

Jumlah Diagonal poligon cembung selalu tergantung pada jumlah simpul.

Partisi dari poligon cembung

Dalam beberapa kasus, untuk menyelesaikan tugas geometri yang diperlukan untuk memecahkan poligon cembung menjadi beberapa segitiga dengan diagonal non-berpotongan. Masalah ini dapat diatasi dengan menghapus formula tertentu.

Mendefinisikan masalah: call yang tepat partisi dari cembung n-gon menjadi beberapa segitiga dengan diagonal yang berpotongan hanya pada simpul dari sosok geometris.

Solusi: Misalkan P1, P2, P3, ..., Pn - bagian atas n-gon itu. Jumlah Xn - jumlah partisi nya. Hati-hati mempertimbangkan dihasilkan sosok geometris diagonal Pi Pn tersebut. Dalam salah satu partisi biasa P1 Pn milik segitiga tertentu P1 Pi Pn, di mana 1

Mari i = 2 adalah sekelompok partisi biasa, selalu mengandung diagonal P2 Pn. Jumlah partisi yang disertakan di dalamnya, sama dengan jumlah partisi (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Dengan kata lain, itu sama dengan Xn-1.

Jika i = 3, maka partisi kelompok lain akan selalu mengandung diagonal P3 P1 dan P3 Pn. Jumlah partisi yang benar yang terkandung dalam kelompok, akan bertepatan dengan jumlah partisi (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Dengan kata lain, itu akan menjadi Xn-2.

Biarkan i = 4, maka segitiga antara partisi yang benar terikat mengandung segitiga P1 Pn P4, yang akan berdampingan segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Jumlah partisi yang benar segiempat seperti sama X4, dan jumlah partisi (n-3) -gon sama Xn-3. Berdasarkan hal tersebut di atas, kita dapat mengatakan bahwa jumlah total partisi biasa yang terkandung dalam kelompok ini sama dengan Xn-3 X4. kelompok lain, di mana i = 4, 5, 6, 7 ... akan berisi 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 partisi biasa.

Mari i = n-2, jumlah partisi yang benar dalam kelompok tertentu akan bertepatan dengan jumlah partisi dalam kelompok, di mana i = 2 (dengan kata lain, sama Xn-1).

Sejak X1 = X2 = 0, X3 = 1 dan X4 = 2, ..., jumlah partisi poligon cembung adalah:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

contoh:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Jumlah partisi yang benar berpotongan dalam satu diagonal

Ketika memeriksa kasus-kasus individu, dapat diasumsikan bahwa jumlah diagonal dari cembung n-gon adalah sama dengan produk dari semua partisi dari pola grafik ini (n-3).

Buktinya asumsi ini: misalkan P1n = Xn * (n-3), maka setiap n-gon dapat dibagi menjadi (n-2) adalah segitiga. Dalam hal ini salah satunya dapat ditumpuk (n-3) -chetyrehugolnik. Pada saat yang sama, masing-masing segi empat adalah diagonal. Sejak angka geometris cembung ini dua diagonal dapat dilakukan, yang berarti bahwa dalam setiap (n-3) -chetyrehugolnikah dapat melakukan tambahan diagonal (n-3). Atas dasar ini, kita dapat menyimpulkan bahwa pada partisi yang tepat setiap memiliki kesempatan untuk (n-3) pertemuan -diagonali persyaratan tugas ini.

Daerah poligon cembung

Seringkali, dalam memecahkan berbagai masalah geometri SD ada kebutuhan untuk menentukan daerah poligon cembung. Asumsikan bahwa (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n merupakan urutan koordinat semua simpul tetangga poligon, tidak memiliki self-persimpangan. Dalam hal ini, daerah yang dihitung dengan rumus berikut:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

dimana (X _1, Y _{1) = (X n 1, Y} n + _1).