Bilangan irasional: apa itu dan apa yang mereka digunakan?

Apa adalah bilangan irasional? Mengapa mereka disebut? Di mana mereka digunakan dan apa yang merupakan? Beberapa kaleng tanpa ragu-ragu untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini. Namun pada kenyataannya, jawaban yang cukup sederhana, meskipun tidak semua yang diperlukan dan dalam situasi yang sangat langka,

Esensi dan penunjukan

bilangan irasional adalah non-periodik tak berujung desimal. Kebutuhan untuk memperkenalkan konsep ini berasal dari fakta bahwa untuk mengatasi tantangan yang muncul baru telah cukup konsep sebelumnya sudah ada bilangan real atau nyata, utuh, alam dan rasional. Sebagai contoh, untuk menghitung nilai persegi 2, perlu untuk menggunakan pecahan desimal tak terbatas non-periodik. Selain itu, banyak persamaan yang sederhana juga tidak memiliki solusi tanpa pengenalan konsep bilangan irasional.

set ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti telah menjadi jelas, nilai-nilai ini tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana, pembilang dari yang keseluruhan, dan penyebut - nomor alami.

Untuk pertama kalinya satu atau lain cara dengan fenomena ini dihadapi matematikawan India pada abad VII SM, ketika ditemukan bahwa akar kuadrat dari jumlah tertentu tidak dapat diidentifikasi dengan jelas. Sebuah bukti pertama keberadaan nomor tersebut dikreditkan Pythagoras Hippasus, yang berhasil dalam studi segitiga sama kaki kanan. Sumbangan yang serius untuk mempelajari set ini telah membawa bahkan beberapa ilmuwan yang hidup sebelum Kristus. Pengenalan konsep bilangan irasional menyebabkan revisi dari sistem matematika yang ada, yang mengapa mereka begitu penting.

Asal usul nama

Jika rasio dalam bahasa Latin - adalah "ditembak", "sikap", awalan "ir"
melekat pada kata yang berlawanan. Dengan demikian, nama himpunan angka-angka ini menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dikorelasikan ke integer atau pecahan, memiliki kursi. Ini mengikuti dari alam mereka.

Tempatkan dalam klasifikasi umum

bilangan irasional, bersama dengan rasional mengacu kepada sekelompok nyata atau maya, yang pada gilirannya milik kompleks. Subset tidak, bagaimanapun, membedakan antara aljabar dan baik transendental, yang akan dibahas di bawah.

sifat

Karena bilangan irasional - itu bagian dari satu set nyata, maka berlaku untuk mereka semua properti mereka, yang dipelajari dalam aritmatika (juga disebut hukum aljabar dasar).

a + b = b + a (komutatif);

(A + b) + c = a + (b + c) (associativity);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (keberadaan invers aditif);

ab = ba (hukum komutatif);

(Ab) c = a (bc) (distributivity);

a (b + c) = ab + ac (hukum distributif);

kapak 1 = a

kapak 1 / a = 1 (jumlah kebalikan dari eksistensi);

Perbandingan juga dibuat sesuai dengan hukum umum dan prinsip-prinsip:

Jika a> b dan b> c, maka a> c (rasio transitivitas) dan. t. d.

Tentu saja, semua angka irasional dapat dikonversi menggunakan operasi aritmatika dasar. Setiap aturan khusus dalam hal ini.

Selain itu, angka-angka irasional ditutupi oleh aksioma Archimedes. Ini menyatakan bahwa untuk setiap dua nilai a dan b benar bahwa, dengan mengambil istilah sebagai jumlah yang memadai kali, adalah mungkin untuk mengalahkan b.

penggunaan

Terlepas dari kenyataan bahwa dalam kehidupan nyata tidak sering harus berurusan dengan mereka, bilangan irasional tidak memberikan akun. Mereka adalah banyak sekali, tetapi mereka praktis tak terlihat. Kita dikelilingi oleh bilangan irasional. Contoh, akrab bagi semua, - jumlah pi, sama dengan 3.1415926 ... atau e, pada dasarnya basis logaritma natural, 2,718281828 ... Dalam aljabar, trigonometri dan geometri harus menggunakannya terus-menerus. By the way, nilai terkenal dari "bagian emas", yaitu rasio berapa banyak dari tinggi ke rendah dan sebaliknya, dan Hal ini mengacu pada set ini. Kurang terkenal "silver" - juga.

Pada baris nomor, mereka sangat dekat, sehingga antara dua kuantitas, ditutupi oleh satu set rasional, irasional tentu terjadi.

Hingga saat ini, ada banyak isu yang belum terselesaikan terkait dengan set ini. Ada kriteria seperti irasionalitas ukuran dan normalitas nomor. Matematikawan terus mengeksplorasi contoh yang paling signifikan karena adanya milik satu kelompok atau lainnya. Sebagai contoh, diasumsikan bahwa e - angka normal, yaitu, probabilitas terjadinya di rekaman dari angka yang berbeda adalah sama ... Adapun pi, maka relatif lama diselidiki. Ukur irasionalitas juga disebut nilai, menunjukkan seberapa baik nomor tertentu dapat didekati dengan bilangan rasional.

Aljabar dan transendental

Seperti telah disebutkan, irasional nomor kondisional dibagi menjadi aljabar dan transendental. Konvensional, karena, tegasnya, klasifikasi digunakan untuk membagi pluralitas C.

Di bawah penunjukan ini menyembunyikan bilangan kompleks, yang meliputi aktual atau nyata.

Jadi aljabar disebut nilai, yang merupakan akar dari polinomial tidak identik nol. Misalnya, akar kuadrat dari 2 akan jatuh ke dalam kategori ini, karena merupakan solusi dari persamaan x ^2-2 = 0.

Semua bilangan real lain yang tidak memenuhi kondisi ini disebut transendental. spesies ini dan merupakan contoh yang paling terkenal dan sudah disebutkan - jumlah pi dan logaritma natural basis e.

Menariknya, tidak satu atau kedua awalnya dibesarkan oleh matematikawan seperti itu, irasionalitas dan transendensi mereka telah dibuktikan melalui bertahun-tahun setelah penemuan mereka. Sebagai bukti pi diberikan pada tahun 1882 dan disederhanakan pada tahun 1894, yang mengakhiri perdebatan tentang masalah mengkuadratkan lingkaran, yang berlangsung selama 2500 tahun. Hal ini masih belum sepenuhnya dipahami, sehingga matematikawan modern memiliki pekerjaan yang harus dilakukan. By the way, yang pertama perhitungan yang cukup akurat dari nilai ini memiliki Archimedes. Sebelum dia, semua perhitungan yang terlalu perkiraan.

Untuk e (nomor Euler, atau Napier), bukti transendensi-nya ditemukan pada tahun 1873. Hal ini digunakan dalam memecahkan persamaan logaritmik.

Di antara contoh-contoh lain - nilai-nilai sinus, cosinus dan tangen untuk aljabar nol nilai-nilai.