Regular polyhedra: elemen simetri dan daerah

Geometri indah karena, tidak seperti aljabar, yang tidak selalu jelas mengapa dan apa yang Anda pikirkan, memberikan objek visual. dunia ini indah berbagai badan menghiasi polyhedra biasa.

informasi umum tentang polyhedra biasa

Menurut banyak, polyhedrons biasa, atau seperti yang disebut padatan Platonis, memiliki sifat yang unik. Dengan benda-benda ini terhubung beberapa hipotesis ilmiah. Ketika Anda mulai mempelajari data geometris tubuh, Anda menyadari bahwa hampir tidak tahu apa-apa tentang konsep seperti polyhedra biasa. Presentasi dari benda-benda di sekolah tidak selalu menarik, begitu banyak bahkan tidak ingat apa yang mereka disebut. Dalam memori dari kebanyakan orang itu hanya sebuah kubus. Tak satu pun dari geometri tubuh tidak memiliki kesempurnaan seperti polyhedrons biasa. Semua nama-nama badan-badan geometrik berasal dari Yunani kuno. Mereka merupakan jumlah wajah: tetrahedron - empat-sisi, hexahedron - Allen, segi delapan - segi delapan, dodecahedron - Dodecahedral, ikosahedron - ikosahedral. Semua ini tubuh geometris menempati tempat penting dalam konsepsi Plato alam semesta. Empat dari mereka yang diwujudkan elemen atau entitas: tetrahedron - api, icosahedron - air kubus - bumi, segi delapan - udara. Dodecahedron diwujudkan segala sesuatu. Dia dianggap utama, sebagai simbol alam semesta.

Generalisasi konsep polyhedron

Polyhedron adalah kumpulan terbatas poligon sehingga:

• masing-masing sisi dari setiap poligon adalah pada saat yang sama hanya satu sisi dari poligon lain pada sisi yang sama;
• dari masing-masing poligon Anda dapat berjalan ke yang lain dengan melewati berdekatan dengannya poligon.

Poligon merupakan polyhedron mewakili wajah dan sisi mereka - rusuk. simpul polyhedra adalah simpul dari poligon. Jika poligon jangka memahami polylines tertutup datar, kemudian datang ke salah satu definisi dari polyhedron. Dalam kasus di mana dengan istilah ini berarti bagian dari pesawat yang dibatasi oleh garis patah, akan dipahami permukaan yang terdiri dari potongan poligonal. polyhedron cembung disebut tubuh berbaring di satu sisi pesawat, yang berdekatan dengan wajah nya.

Definisi lain dari polyhedron dan unsur-unsurnya

Polyhedron disebut permukaan terdiri dari poligon, yang membatasi tubuh geometris. Mereka adalah:

• non-cembung;
• cembung (benar dan salah).

Regular polyhedron - adalah polyhedron cembung dengan simetri maksimal. Elemen polyhedra biasa:

• Tetrahedron: 6 rusuk 4 wajah 5 simpul;
• hexahedron (cube) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• oktahedron 12, 8, 6;
• Icosahedron 30, 20, 12.

Teorema Euler

Ini menetapkan hubungan antara jumlah tepi, simpul dan wajah yang topologi setara dengan sebuah bola. Menambahkan jumlah simpul dan wajah (B + D) memiliki polyhedra biasa yang berbeda dan membandingkan mereka dengan jumlah tulang rusuk, adalah mungkin untuk menetapkan satu aturan: jumlah jumlah wajah sama dengan jumlah simpul dan tepi (P) meningkat 2. Hal ini dimungkinkan untuk mendapatkan rumus sederhana:

• B + D = P + 2.

Rumus ini berlaku untuk semua polyhedra cembung.

definisi dasar

Konsep dari polyhedron biasa adalah tidak mungkin untuk menggambarkan dalam satu kalimat. Hal ini lebih dihargai dan volume. Sebuah badan untuk diakui sebagai demikian, perlu bahwa memenuhi sejumlah definisi. Dengan demikian, tubuh geometris akan menjadi polyhedron biasa bila kondisi tersebut terpenuhi:

• itu adalah cembung;
• jumlah yang sama dari tulang rusuk konvergen pada masing-masing simpul;
• semua aspek nya - poligon reguler, sama satu sama lain;
• Semua sudut dihedral adalah sama.

Sifat polyhedra biasa

Ada 5 jenis polyhedra biasa:

1. Cube (hexahedron) - memiliki sudut puncak datar adalah 90 °. Ini memiliki sudut 3-sided. Jumlah wajah sudut di puncak 270 °.
2. Tetrahedron - sudut puncak datar - 60 °. Ini memiliki sudut 3-sided. Jumlah wajah sudut di puncak - 180 °.
3. Oktahedron - sudut puncak datar - 60 °. Ini memiliki sudut empat sisi. Jumlah wajah sudut di puncak - 240 °.
4. Dodecahedron - sudut puncak datar dari 108 °. Ini memiliki sudut 3-sided. Jumlah wajah sudut di puncak - 324 °.
5. Icosahedron - memiliki sudut puncak datar - 60 °. Ini memiliki sudut lima-sisi. Jumlah wajah sudut di puncak 300 °.

Daerah polyhedra biasa

Luas permukaan tubuh geometris (S) dihitung sebagai daerah poligon beraturan dikalikan dengan jumlah aspek (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

Volume dari polyhedron biasa

Nilai ini dihitung dengan mengalikan volume piramida biasa yang dasar adalah poligon beraturan, jumlah wajah, dan tinggi adalah jari-jari tertulis dari lingkup (r):

• V = 1: 3R.

Volume polyhedra biasa

Seperti geometris padat, polyhedra biasa lainnya memiliki volume yang berbeda. Berikut adalah formula dengan mana mereka dapat menghitung:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktahedron: α x 3√2: 3;
• Icosahedron; α x 3;
• hexahedron (cube): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elemen polyhedra biasa

Hexahedron dan segi delapan yang tubuh geometris ganda. Dengan kata lain, mereka mungkin keluar dari satu sama lain dalam hal pusat massa dari satu diambil sebagai bagian atas yang lain, dan sebaliknya. Juga dual ikosahedron dan dodecahedron. Dirinya hanya tetrahedron adalah ganda. Menurut metode Euclid dapat diperoleh dari hexahedron dodecahedron dengan membangun "atap" di wajah kubus. Simpul dari tetrahedron adalah setiap 4 simpul kubus, tidak pasangan yang berdekatan sepanjang tepi. Dari hexahedron (cube) dapat diperoleh, dan polyhedra biasa lainnya. Terlepas dari kenyataan bahwa poligon reguler ada tak terhitung banyaknya, polyhedra biasa, hanya ada 5.

Jari-jari poligon reguler

Dengan masing-masing badan geometrik adalah bola konsentris terhubung 3:

• dijelaskan melewati simpul;
• tertulis mengenai setiap wajah di tengah-tengah itu;
• median mengenai semua tepi di tengah.

Jari-jari bola dijelaskan dengan rumus berikut dihitung:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Jari-jari bola tertulis dihitung sebagai berikut:

• R = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

di mana θ - sudut dihedral yaitu antara aspek yang berdekatan.

Radius median bola dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / jam,

dimana h = besarnya 4,6, 6,10, atau 10. Rasio jari-jari dari ditorehkan dijelaskan dan simetris terhadap p dan q. Hal ini dihitung sebagai berikut:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Simetri polyhedra

Simetri dari polyhedra biasa adalah kepentingan utama untuk badan-badan geometris. Hal ini dipahami sebagai gerakan tubuh dalam ruang, yang meninggalkan jumlah yang sama simpul, wajah dan tepi. Dengan kata lain, di bawah pengaruh simetri Transformasi tepi, vertex, atau wajah mempertahankan posisi semula, atau bergerak ke posisi rumah rusuk lain, simpul atau wajah lainnya.

Unsur-unsur simetri dari polyhedra biasa yang umum untuk semua jenis padatan geometris. Di sini dilakukan pada transformasi identitas, yang meninggalkan salah satu poin di posisi aslinya. Jadi, bila Anda memutar prisma poligonal bisa mendapatkan beberapa simetri. Salah satu dari mereka dapat direpresentasikan sebagai produk refleksi. Simetri, yang merupakan produk dari bahkan jumlah refleksi, disebut langsung. Jika itu adalah produk dari ganjil refleksi, maka disebut umpan balik. Dengan demikian, semua berubah sekitar garis mewakili simetri lurus. Setiap refleksi polyhedron - adalah simetri terbalik.

Untuk lebih memahami unsur-unsur simetri dari polyhedra biasa, Anda dapat mengambil contoh dari tetrahedron. Setiap baris yang akan melewati salah satu simpul dan pusat bentuk geometris, akan berlangsung, dan melalui pusat tepi berlawanan dengan itu. Setiap putaran 120 dan 240 ° sekitar garis milik simetri tetrahedral plural. Karena 4 simpul dan wajah, kita mendapatkan total delapan simetri langsung. Salah satu garis yang melewati tengah tepi dan tengah tubuh, melewati tengah tepi berlawanan. Setiap rotasi 180 °, yang disebut setengah-berbalik simetri lurus. Sejak tetrahedron memiliki tiga pasang tulang rusuk, Anda mendapatkan tiga baris simetri. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa jumlah simetri langsung, dan termasuk transformasi identitas, akan sampai dua belas. Lainnya tetrahedron simetri langsung tidak ada, tetapi memiliki 12 simetri terbalik. Akibatnya, hanya 24 ditandai simetri tetrahedron. Untuk kejelasan, kita dapat membangun sebuah model dari tetrahedron biasa terbuat dari karton dan pastikan itu adalah tubuh geometris benar-benar hanya memiliki 24 simetri.

Dodecahedron dan ikosahedron - paling dekat dengan daerah tubuh. Icosahedron memiliki jumlah terbesar dari wajah, sudut dihedral dan sebagian besar dari semua dapat erat melekat pada lingkup tertulis. Dodecahedron memiliki cacat sudut padat termurah sudut terbesar di simpul. Hal ini dapat memaksimalkan untuk mengisi di bidang terbatas.

scanning polyhedra

polyhedra memindai biasa, yang kita semua terjebak bersama-sama di masa kecil, memiliki banyak konsep. Jika ada satu set poligon, setiap sisi yang diidentifikasi dengan hanya satu sisi dari polyhedron, identifikasi pihak harus mematuhi dua kondisi:

• masing-masing poligon, Anda dapat pergi ke poligon memiliki identifikasi samping;
• sisi diidentifikasi harus memiliki panjang yang sama.

Ini adalah satu set poligon yang memenuhi kondisi ini, dan disebut scan polyhedron. Masing-masing dari badan-badan ini memiliki beberapa dari mereka. Sebagai contoh, sebuah kubus yang ada 11 buah.