Berbagai cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras: Contoh, deskripsi dan ulasan

Satu hal yang pasti seratus persen bahwa pertanyaan, yang sama dengan kuadrat sisi miring, setiap orang dewasa dengan berani menjawab: "jumlah dari kuadrat dari kaki" Teorema ini tegas terjebak dalam pikiran setiap orang berpendidikan, tapi Anda hanya meminta seseorang untuk membuktikannya, dan mungkin ada kesulitan. Oleh karena itu, mari kita ingat dan mempertimbangkan cara-cara yang berbeda untuk membuktikan teorema Pythagoras.

Sebuah gambaran dari biografi

Teorema Pythagoras akrab bagi hampir semua orang, tapi untuk beberapa alasan, kehidupan manusia, yang telah berhasil sampai ke cahaya, tidak begitu populer. Ini diperbaiki. Oleh karena itu, sebelum Anda menjelajahi berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras, kita harus sebentar berkenalan dengan kepribadiannya.

Pythagoras - filsuf, matematikawan, filsuf berasal dari Yunani kuno. Hari ini sangat sulit untuk membedakan biografinya dari legenda yang telah ditetapkan dalam memori manusia besar ini. Tapi itu mengikuti dari karya-karya para pengikutnya, Pifagor Samossky lahir di pulau Samos. Ayahnya adalah pemotong batu normal, tapi ibunya berasal dari keluarga bangsawan.

Menurut legenda, kelahiran Pythagoras diprediksi wanita bernama Pythia, yang dalam kehormatan dan nama anak itu. Menurut prediksinya kelahiran anak laki-laki akan membawa banyak manfaat dan kebaikan bagi umat manusia. Bahwa sebenarnya ia lakukan.

Kelahiran teorema

Di masa mudanya, Pythagoras pindah dari Samos ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir dikenal. Setelah bertemu dengan mereka, ia mengaku pelatihan, dan tahu di mana semua prestasi besar dari filosofi Mesir, matematika dan obat-obatan.

Itu mungkin di Mesir Pythagoras terinspirasi oleh keagungan dan keindahan piramida dan menciptakan teori yang besar. Ini mungkin mengejutkan pembaca, tetapi sejarawan modern percaya bahwa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Dan hanya disampaikan pengetahuan tentang pengikut yang kemudian menyelesaikan semua perhitungan matematis yang diperlukan.

Apa pun itu, yang sekarang dikenal lebih dari satu metode pembuktian dari teorema ini, tapi beberapa. Hari ini hanya bisa menebak bagaimana orang-orang Yunani membuat perhitungan mereka, jadi ada cara yang berbeda untuk melihat bukti teorema Pythagoras.

Teorema Pythagoras'

Sebelum memulai perhitungan apapun, Anda perlu mengetahui teori untuk membuktikan. Teorema Pythagoras adalah: "Dalam sebuah segitiga di mana salah satu sudut ^sekitar 90, jumlah dari kuadrat dari kaki sama dengan kuadrat dari sisi miring."

Total ada 15 cara yang berbeda untuk membuktikan teorema Pythagoras. Ini adalah angka yang agak tinggi, jadi perhatikan paling populer dari mereka.

metode satu

Pertama, kita menunjukkan bahwa kita diberikan. Data ini akan diperluas ke metode lain dari bukti teorema Pythagoras, sehingga tepat untuk mengingat semua sebutan yang ada.

Asumsikan diberikan segitiga siku-siku dengan kaki, dan sisi miring sama dengan c. Metode pertama didasarkan pada bukti bahwa, karena segitiga siku-siku yang diperlukan untuk menyelesaikan alun-alun.

Untuk melakukan ini, Anda perlu panjang kaki dari segmen yang sama untuk menyelesaikan kaki di, dan sebaliknya. Sehingga harus memiliki dua sisi yang sama dari alun-alun. Kami hanya dapat menarik dua garis sejajar, dan alun-alun siap.

Di dalam, angka yang dihasilkan perlu untuk menarik persegi lain dengan sisi yang sama dengan sisi miring dari segitiga asli. Untuk tujuan ini simpul dari ac dan komunikasi yang diperlukan untuk menarik dua segmen yang sama dengan paralel. Sehingga memperoleh tiga sisi persegi, salah satunya adalah persegi panjang asli segitiga sisi miring. Docherty tetap hanya segmen keempat.

Berdasarkan pola yang dihasilkan dapat disimpulkan bahwa daerah luar alun-alun sama dengan (a + b) ^2. Jika Anda melihat ke dalam angka-angka, Anda dapat melihat bahwa selain alun-alun batin itu memiliki empat segitiga siku-siku. Daerahnya masing-masing adalah 0,5av.

Oleh karena itu, daerah ini sama dengan: 4 * 0,5av + c ² = a ² + 2av

Oleh karena itu, (a + b) ² = c ² + 2av

Dan karena itu, dengan ² = a ² + ²

Ini membuktikan teorema.

Metode dua: segitiga yang sama

Formula ini adalah bukti teorema Pythagoras berasal atas dasar persetujuan dari bagian geometri segitiga ini. Ini menyatakan bahwa kaki dari segitiga siku-siku - proporsional rata-rata untuk miring dan panjang sisi miring, yang berasal dari vertex ^90.

Data awal yang sama, jadi mari kita segera mulai dengan bukti. Menarik tegak lurus ke sisi segmen AB CD. Berdasarkan persetujuan atas kaki segitiga sama:

AC = √AV * AD, CB = √AV * DV.

Untuk menjawab pertanyaan tentang bagaimana untuk membuktikan teorema Pythagoras, bukti harus diarahkan dengan mengkuadratkan kedua ketidaksetaraan.

AC ² = AB * BP dan CB ² = AB * DV

Sekarang Anda perlu menambahkan ketimpangan yang dihasilkan.

AU ^{2 2} + CB = AB * (BP * ET) di mana BP = AB + ET

Ternyata:

AC ² + ² = CB AB * AB

Dan oleh karena itu:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

Bukti dari teorema Pythagoras dan cara yang berbeda dari solusi yang perlu pendekatan multi-faceted untuk masalah ini. Namun, pilihan ini adalah salah satu yang paling sederhana.

metode lain perhitungan

Deskripsi cara yang berbeda untuk membuktikan Teorema Pythagoras mungkin ada yang mengatakan, selama paling tidak sendiri telah mulai berlatih. Banyak teknik melibatkan tidak hanya matematika, tetapi juga pembangunan segitiga asli angka baru.

Dalam hal ini perlu untuk menyelesaikan leg SM segitiga siku-siku yang lain IRR. Jadi sekarang ada dua segitiga dengan Matahari umum leg

Mengetahui bahwa bidang angka-angka serupa memiliki rasio sebagai kuadrat dimensi linier yang sama mereka, maka:

S _ABC * ² - S ² * _HPA = S * dan _AVD ² - S ² * _VSD

_Abc * S ⁽² -c ²⁾ = ² * (S _AVD -S _VVD)

-untuk ^{2 2} = a ²

² = a ² + ²

Karena metode yang berbeda dari bukti teorema Pythagoras untuk kelas 8, pilihan ini tidak sesuai, Anda dapat menggunakan prosedur berikut.

Cara termudah untuk membuktikan teorema Pythagoras. ulasan

Hal ini diyakini oleh sejarawan, metode ini pertama kali digunakan untuk bukti teorema di Yunani kuno. Dia adalah yang paling mudah karena tidak memerlukan sekali tidak ada pembayaran. Jika Anda menggambar dengan benar, bukti pernyataan bahwa ² + ² = c ^2, akan terlihat dengan jelas.

Syarat dan ketentuan untuk proses ini akan sedikit berbeda dari yang sebelumnya. Untuk membuktikan teorema, menganggap bahwa segitiga siku-siku ABC - sama kaki.

Miring AC mengambil alih arah alun-alun dan docherchivaem tiga sisinya. Disamping itu perlu untuk menghabiskan dua garis diagonal untuk membentuk persegi. Jadi, untuk mendapatkan empat segitiga sama sisi di dalamnya.

Dengan Catete AB dan CD yang diperlukan Docherty di alun-alun dan tahan pada satu garis diagonal di masing-masing. Menarik garis dari titik sudut A pertama, kedua - dari C.

Sekarang kita perlu mengambil melihat dari dekat gambar yang dihasilkan. Sebagai sisi miring AC adalah empat segitiga sama dengan aslinya, namun di Catete dua, itu berbicara tentang kebenaran teorema ini.

By the way, berkat teknik ini, bukti teorema Pythagoras, dan lahirlah ungkapan terkenal: "celana Pythagoras segala arah adalah sama"

J. Bukti. Garfield

Dzheyms Garfild - Presiden kedua puluh dari Amerika Serikat. Selain itu, ia telah meninggalkan tanda dalam sejarah sebagai penguasa Amerika Serikat, dia juga berbakat otodidak.

Pada awal karirnya, dia adalah seorang guru biasa di sekolah rakyat, tetapi segera menjadi direktur salah satu lembaga pendidikan tinggi. Keinginan untuk pengembangan diri dan memungkinkan dia untuk mengusulkan teori baru bukti teorema Pythagoras. Teorema dan contoh solusinya adalah sebagai berikut.

Pertama perlu untuk menggambar pada kertas dua persegi panjang segitiga sehingga satu kaki yang merupakan kelanjutan dari yang terakhir. Simpul segitiga ini harus dihubungkan ke akhirnya mendapatkan trapeze.

Seperti diketahui, daerah trapesium sama dengan produk dari setengah jumlah dari basis dan tinggi.

S = a + b / 2 * (a + b)

Jika kita mempertimbangkan trapesium yang dihasilkan, sebagai sosok yang terdiri dari tiga segitiga, daerah dapat ditemukan sebagai berikut:

S = aw / 2 * 2 + ^2/2

Sekarang kita perlu untuk menyamakan dua ekspresi asli

2av / 2 + c / 2 = (a + b) ^2/2

² = a ² + ²

Tentang Pythagoras dan bagaimana untuk membuktikan bahwa Anda tidak dapat menulis volume buku teks tunggal. Tapi apakah masuk akal ketika pengetahuan yang tidak dapat diterapkan dalam praktek?

aplikasi praktis dari teorema Pythagoras

Sayangnya, dalam kurikulum sekolah modern yang menyediakan untuk penggunaan teorema ini hanya dalam masalah geometris. Lulusan akan segera meninggalkan dinding sekolah, dan tidak tahu, dan bagaimana mereka dapat menerapkan pengetahuan dan keterampilan mereka dalam praktek.

Bahkan, untuk menggunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari mereka dapat masing-masing. Dan tidak hanya dalam kegiatan profesional, tetapi juga dalam pekerjaan rumah tangga biasa. Mempertimbangkan beberapa kasus di mana teorema Pythagoras dan bagaimana untuk membuktikannya bisa sangat diperlukan.

teorema komunikasi dan astronomi

Akan terlihat bahwa mereka dapat dikaitkan dengan bintang-bintang dan segitiga di atas kertas. Bahkan, astronomi - daerah ilmiah di mana banyak digunakan teorema Pythagoras.

Sebagai contoh, perhatikan pergerakan sinar cahaya dalam ruang. Hal ini diketahui bahwa cahaya perjalanan di kedua arah dengan kecepatan yang sama. AB lintasan, yang bergerak sinar cahaya disebut l. Dan setengah waktu yang dibutuhkan untuk cahaya untuk mendapatkan dari titik A ke titik B, yang kita sebut t. Dan kecepatan balok - c. Ternyata: c * t = l

Jika Anda melihat berkas ini sama pesawat lain, misalnya, sebuah kapal ruang angkasa, yang bergerak dengan kecepatan v, kemudian di bawah badan pengawasan tersebut akan mengubah kecepatan mereka. Namun, bahkan unsur-unsur tetap akan bergerak dengan kecepatan v dalam arah yang berlawanan.

Misalkan kapal komik mengambang tepat. Kemudian titik A dan B, yang terbelah antara balok akan bergerak ke kiri. Apalagi bila balok bergerak dari titik A ke titik B, titik A waktu untuk bergerak, dan, sesuai, cahaya telah datang ke titik C. baru Untuk menemukan setengah jarak di mana titik A telah pindah, perlu untuk memperbanyak kecepatan kapal di waktu tempuh balok setengah (t ').

d = t '* v

Dan untuk menemukan seberapa jauh pada waktu itu mampu melewati seberkas cahaya yang dibutuhkan untuk menandai titik setengah dari beech baru dan ekspresi berikut:

s = c * t '

Jika kita membayangkan bahwa titik cahaya C dan B, serta ruang kapal - adalah bagian atas segitiga sama kaki, segmen dari titik A ke liner akan membaginya menjadi dua segitiga siku-siku. Oleh karena itu, berkat teorema Pythagoras dapat menemukan jarak yang mampu melewati seberkas cahaya.

s = l ^{2 2} + d ²

Contoh ini, tentu saja, bukan yang terbaik, karena hanya beberapa dapat cukup beruntung untuk mencobanya dalam praktek. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan aplikasi yang lebih biasa dari teorema ini.

transmisi sinyal ponsel radius

Kehidupan modern adalah mustahil untuk membayangkan tanpa adanya smartphone. Tapi berapa banyak dari mereka harus proc jika mereka tidak mampu untuk menghubungkan pelanggan melalui ponsel?!

kualitas komunikasi mobile langsung tergantung pada ketinggian di mana antena untuk menjadi operator seluler. Dalam rangka untuk mencari tahu seberapa jauh dari menara ponsel dapat menerima sinyal, Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras.

Misalkan Anda ingin mencari ketinggian perkiraan menara tetap, sehingga dapat mendistribusikan sinyal dalam radius 200 kilometer.

AB (ketinggian tower) = x;

Sun (radius Signal) = 200 km;

OC (radius bumi) = 6380 km;

di sini

OB = OA + AVOV = r + x

Menerapkan teorema Pythagoras, kita mencari tahu apa ketinggian tower minimal harus 2,3 kilometer.

Teorema Pythagoras di rumah

Anehnya, teorema Pythagoras dapat berguna bahkan dalam urusan rumah tangga seperti penentuan ketinggian kompartemen lemari, misalnya. Pada pandangan pertama, tidak ada perlu menggunakan perhitungan kompleks seperti, karena Anda hanya dapat melakukan pengukuran dengan pita pengukur. Tapi banyak bertanya-tanya mengapa proses membangun ada masalah-masalah tertentu, jika semua pengukuran diambil alih persis.

Faktanya adalah bahwa lemari akan dalam posisi horizontal dan kemudian mengangkat dan dipasang di dinding. Oleh karena itu, dinding sisi kabinet dalam proses mengangkat desain harus mengalir dengan bebas dan tinggi, dan ruang diagonal.

Misalkan Anda memiliki lemari kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke langit-langit - 2600 mm. pembuat kabinet yang berpengalaman mengatakan bahwa tinggi kandang harus di 126 mm kurang dari ketinggian ruangan. Tapi kenapa di 126mm? Perhatikan contoh berikut.

Di bawah dimensi ideal kabinet akan memeriksa tindakan dari Teorema Pythagoras:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2600 mm - semua berkumpul.

Katakanlah, ketinggian kabinet tidak sama dengan 2474 mm dan 2505 mm. kemudian:

AU = √2505 ² + √800 = 2629 mm ^2.

Akibatnya, kabinet ini tidak cocok untuk instalasi di dalam ruangan. Sejak kapan mengambil posisi tegak lurus dapat menyebabkan kerusakan pada tubuhnya.

Mungkin dianggap cara yang berbeda untuk membuktikan Teorema Pythagoras oleh para ilmuwan yang berbeda, kita dapat menyimpulkan bahwa itu lebih dari benar. Sekarang Anda dapat menggunakan informasi dalam kehidupan sehari-hari, dan benar-benar yakin bahwa semua perhitungan tidak hanya berguna, tetapi juga benar.