Georg Cantor: teori himpunan, biografi dan matematika keluarga

Georg Cantor (foto menunjukkan kemudian dalam artikel) - matematikawan Jerman yang mengembangkan teori set dan memperkenalkan konsep angka transfinite, jauh besar, tetapi berbeda satu sama lain. Dia juga memberikan definisi nomor urut dan kardinal dan mendirikan aritmatika mereka.

Georg Cantor: biografi singkat

Lahir di St Petersburg 1845/03/03. Ayahnya adalah seorang Denmark Protestan Georg Waldemar Cantor, terlibat dalam perdagangan, di Vol. H. Dan di bursa saham. Ibunya, Maria, Bem adalah seorang Katolik dan berasal dari keluarga musisi terkemuka. Ketika pada tahun 1856 ayahnya George menjadi sakit, keluarga mencari iklim yang lebih ringan pindah pertama yang Wiesbaden kemudian ke Frankfurt. bakat matematika, anak itu muncul sebelum ulang tahunnya yang ke-15 sementara belajar di sekolah swasta dan sekolah negeri di Darmstadt dan Wiesbaden. Pada akhirnya, Georg Cantor membujuk ayahnya di tekadnya untuk menjadi seorang ahli matematika daripada seorang insinyur.

Setelah pelatihan singkat di Universitas Zurich pada tahun 1863. Penyanyi dipindahkan ke Universitas Berlin untuk belajar fisika, filsafat dan matematika. Di sana ia diajarkan:

• Karl Theodor Weierstrass, yang spesialisasi dalam analisis, mungkin memiliki pengaruh terbesar pada George;
• Ernst Kummer, yang mengajar aritmatika tertinggi;
• Leopold Kronecker, nomor spesialis teori, yang kemudian menentang Cantor.

Setelah menghabiskan satu semester di Universitas Göttingen pada 1866, tahun depan George menulis tesis doktornya dengan judul "Dalam matematika, seni mengajukan pertanyaan lebih berharga daripada memecahkan masalah" mengenai masalah yang Carl Friedrich Gauss meninggalkan belum terselesaikan dalam bukunya Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Setelah mengajar sebentar di Sekolah Berlin untuk anak perempuan Kantor mulai bekerja di Universitas Halle, di mana ia tetap sampai akhir hidupnya, pertama sebagai dosen, sejak 1872 sebagai asisten profesor, dan sejak tahun 1879 yang pertama sebagai seorang profesor.

penelitian

Pada awal dari serangkaian 10 karya 1869-1873, Georg Cantor dianggap teori angka. pekerjaan mencerminkan semangat untuk subjek penelitian dan efek Gauss Kronecker. Atas saran dari Heinrich Eduard Heine, rekan Cantor di Halle, yang diakui bakat matematika, ia berpaling ke teori seri trigonometri, yang memperluas konsep bilangan real.

Berdasarkan fungsi kerja yang kompleks variabel dari matematikawan Jerman Bernhard Riemann pada 1854, pada 1870 Cantor telah menunjukkan bahwa fungsi seperti dapat diwakili hanya dengan satu cara - dengan seri trigonometri. Pertimbangan himpunan bilangan (poin), yang tidak akan bertentangan pandangan ini, dipimpin dia, di tempat pertama, pada tahun 1872, dengan definisi bilangan irasional dalam hal urutan konvergen bilangan rasional (pecahan dari bilangan bulat) dan kemudian ke awal bekerja pada pekerjaan hidupnya, set teori dan konsep transfinite nomor.

teori himpunan

Georg Cantor, teori yang menetapkan berasal korespondensi dengan Lembaga Teknis Braunschweig matematika Richard Dedekind, berteman dengan dia sejak kecil. Mereka menyimpulkan bahwa set, terbatas atau tak terbatas, adalah pluralitas elemen (misalnya, nomor {0, ± 1, ± 2 ...}) yang memiliki properti tertentu, sementara tetap mempertahankan individualitas mereka. Tapi ketika Georg Cantor diterapkan untuk mempelajari karakteristik mereka satu korespondensi (misalnya, {A, B, C} ke {1, 2, 3}), ia dengan cepat menyadari bahwa mereka berbeda dalam derajat mereka afiliasi, bahkan jika itu set terbatas , t. e. set piece atau bagian dari yang mencakup jumlah yang sama dari benda-benda seperti itu sendiri. metodenya segera memberikan hasil yang luar biasa.

Pada tahun 1873, Georg Cantor (matematika) menunjukkan bahwa bilangan rasional, meskipun tak terbatas, yang dihitung, karena mereka dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan alam (mis. E. 1, 2, 3 ,. D.). Dia menunjukkan bahwa himpunan bilangan real yang terdiri dari tak terbatas rasional dan irasional, dan tak terhitung. Apa paradoks, Cantor membuktikan bahwa himpunan semua bilangan aljabar mengandung banyak unsur sebagai himpunan semua bilangan bulat, dan bahwa nomor transendental yang tidak aljabar, yang merupakan bagian dari bilangan irasional adalah tak terhitung dan karenanya jumlah mereka lebih besar dari bilangan bulat dan harus dianggap sebagai tak terbatas.

Lawan dan pendukung

Tapi pekerjaan Cantor, di mana ia pertama kali dikemukakan hasil, tidak diterbitkan dalam "Krell" majalah sebagai salah satu pengulas, Kronecker ditentang. Tapi setelah intervensi dari Dedekind itu diterbitkan pada tahun 1874 dengan judul "Karakteristik dari semua nyata aljabar angka."

Ilmu pengetahuan dan kehidupan pribadi

Pada tahun yang sama, selama bulan madu dengan istrinya, Valli Gutman di Interlaken, Swiss, Cantor bertemu Dedekind yang ramah mengomentari teori baru. George gaji kecil, tapi dengan uang ayahnya, yang meninggal pada tahun 1863, ia telah dibangun untuk istri dan lima anak-anak di rumah. Banyak dari karya-karyanya telah diterbitkan di Swedia dalam jurnal Acta baru Mathematica, editor dan pendiri yang Gösta Mittag-Leffler, di antara yang pertama untuk mengenali bakat matematika Jerman.

Komunikasi dengan metafisika

Teori Cantor tunduk benar-benar baru dari penelitian yang berkaitan dengan tak terbatas matematika (misalnya, urutan 1, 2, 3 ,. D., Dan set yang lebih kompleks), yang sebagian besar tergantung pada satu-ke-satu korespondensi. Cantor Pengembangan metode baru menetapkan pertanyaan mengenai kelangsungan dan infinity meminjamkan studinya dicampur.

Ketika ia berpendapat bahwa jumlah tak terbatas benar-benar ada, ia berpaling ke filsafat kuno dan abad pertengahan berkaitan dengan infinity aktual dan potensial, serta pendidikan agama awal, yang orang tua memberinya. Pada tahun 1883, dalam bukunya "Dasar-dasar teori umum set" Kantor gabungan konsep dari metafisika Plato.

Kronecker juga, yang menegaskan bahwa "ada" hanya bilangan bulat ( "Allah menciptakan bilangan bulat, sisanya - karya manusia"), selama bertahun-tahun sangat menolak argumen dan dicegah janji itu ke Universitas Berlin.

nomor transfinite

Dalam 1895-1897 gg. Georg Cantor sepenuhnya terbentuk idenya kontinuitas dan tak terhingga, termasuk urutan dan kardinal tak berujung angka, dalam karyanya yang paling terkenal, diterbitkan dengan judul "Kontribusi terhadap teori angka transfinite" (1915). Karya ini termasuk konsepsinya, yang ia memimpin sebuah demonstrasi bahwa himpunan tak terhingga dapat disampaikan dalam korespondensi satu-ke-satu dengan satu dari subset nya.

Terkecil jumlah kardinal transfinite ia berarti kekuatan setiap set, yang dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan alam nomor. Kantor dijelaskan aleph-nol-nya. Besar pluralitas transfinite Alef-ditunjuk satu, dua atau Aleph-t. D. Ini dikembangkan lebih lanjut ordinals aritmatika, yang mirip dengan aritmatika yang terbatas. Dengan demikian, ia telah memperkaya konsep infinity.

Oposisi ia hadapi, dan waktu yang dibutuhkan untuk memastikan bahwa ide-idenya diterima sepenuhnya, menjelaskan kompleksitas revaluasi pertanyaan kuno apa yang nomor. Kantor menunjukkan bahwa satu set titik pada garis memiliki kapasitas lebih tinggi dari Aleph-nol. Hal ini menyebabkan masalah terkenal hipotesis kontinum - tidak ada kardinal antara aleph-nol dan tidak ada kekuatan titik pada garis. masalah dalam pertama dan kedua setengah dari abad ke-20 ini sangat menarik dan telah dipelajari oleh banyak ahli matematika, di Vol. H. Kurt Gödel dan Paul Cohen.

depresi

Biografi Georga Kantora 1884 dirusak oleh penyakit mental yang baru jadi, tapi ia terus bekerja secara aktif. Pada tahun 1897 ia membantu untuk menahan Kongres Internasional pertama matematika di Zurich. Sebagian karena ia menentang Kronecker, ia sering bersimpati dengan hebat matematika muda pemula dan mencoba untuk menemukan cara untuk menyelamatkan mereka dari pelecehan oleh guru yang merasa terancam oleh ide-ide baru.

pengakuan

Pada pergantian abad karyanya sepenuhnya diakui sebagai dasar untuk teori fungsi, analisis dan topologi. Selain itu, Kantora Georga buku menjabat sebagai dorongan untuk pengembangan lebih lanjut dari sekolah formalis dan intuisionis yayasan logis matematika. Ini telah secara signifikan mengubah sistem pengajaran dan sering dikaitkan dengan "matematika baru."

Pada tahun 1911, penyanyi di antara mereka diundang ke perayaan ulang tahun ke-500 dari University of St Andrews di Skotlandia. Dia pergi ke sana berharap untuk bertemu Bertrand Russell, yang pada baru-baru ini menerbitkan karyanya Principia Mathematica berulang kali disebut matematikawan Jerman, tapi itu tidak terjadi. Universitas diberikan Cantor gelar kehormatan, tetapi karena sakit ia tidak dapat menerima penghargaan secara pribadi.

Cantor pensiun pada tahun 1913 dan hidup dalam kemiskinan dan kelaparan selama Perang Dunia Pertama. Perayaan untuk menghormati ulang tahun ke-70 pada tahun 1915 dibatalkan karena perang, tetapi upacara kecil diadakan di rumahnya. Dia meninggal pada 1918/06/01, di Galle, di rumah sakit jiwa, di mana ia menghabiskan tahun-tahun terakhir hidupnya.

Georg Cantor: A Biography. keluarga

9 Agustus 1874, matematikawan Jerman menikah Valli Gutman. Pasangan ini memiliki 4 anak laki-laki dan 2 anak perempuan. Anak terakhir lahir pada tahun 1886 di Cantor membeli rumah baru. Dukungan keluarga dia membantu warisan ayahnya. Kesehatan Cantor sangat mempengaruhi kematian anak bungsunya pada tahun 1899 - karena tidak pernah meninggalkan depresi.